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第406章 44 算术阶层与图灵（第2页）

克林将0阶命题定义的自然数集组成的集合写作Δ0，n阶存在命题和n阶全称命题定义的自然数集组成的集合分别写作∑_n和‖_n。

n阶命题完全等价于n阶算术阶层。

（根据我询问的一位大佬指出：算术阶层是将自然数子集按定义它们的命题的复杂性来分层，这里谈不上算术阶层等价算术命题，而是一类算术命题定义了一个阶层的集合。）

这些集合组成了一个无限向上绵延的体系，阶级越高则能够定义的自然数集合越多，表达能力越强。

每一层级都只能被自身和更上层级所定义，层级之间的关系是严格包含+绝对凌驾的。

0阶命题Δ0所代表的是递归函数，是可计算的（参考四则运算、高德纳箭头、超运算）。

∑_1是枚举函数，它初步定义的函数仍然是可计算的（参考TREE函数、SCG函数等），深入定义后的函数则是不可计算的，例如停机问题。（停机集的图灵度则是由Δ2集合构成）

后续还有∑_2、∑_3、……无止境向上绵延。

算术阶层是无限向上绵延的，图灵度同样如此。

那么何为图灵度？

图灵即图灵机，图灵度是一个图灵机所能计算的范围、停机的范围和计算能力。

对于任意问题a，存在一台喻示机T，T带有解决问题a的方法，同时这个方法能够解决问题b，则问题b被归约到问题a中，这被叫做图灵归约。

任意的可计算判定问题都能被图灵归约到任意判定问题中，在图灵归约的规则下，可计算判定问题是图灵度0，以停机问题为代表的不可计算判定问题无法进行图灵归约，不可计算判定问题是图灵度1。

图灵度、计算层级越高则问题越难，不可判定问题的图灵度是2（不可计算判定问题≠不可判定问题，前者远小于后者）。

其中人类所能计算的只有图灵度0的问题，图灵度1及往上都是人类无法触及、抵达的存在。

图灵度n介于算术阶层n和算术阶层n+1之间。

图灵度有着比算术阶层更加优秀的结构和定义。需要用超穷序数、超穷基数、大基数、……才能表示图灵度和算术阶层的层数。

图灵度和算术阶层之间并不是空无一物，它们每一层级之间存在着无数不可思议的结构，任意图灵度n算术阶层n和图灵度n+1算术阶层n+1之间存在着无数（远超各种超穷序数、超穷基数、大基数、……）类似图灵度和算术阶层的结构（n和n+1之间存在的是无数套完整体系，而不是n和n+1之间所附庸的“等级细分”——虽然这无数套完整体系本就是附庸，“无数”的参考范围是超限序数、超限基数、大基数、……）。

图灵度n和算术阶层n，以及n和n+1中间的无数类似结构、完整体系，其都是无限向上延伸的！每一级之间的差距都是断裂的而不是连续的，需要类似有限数迁跃到阿列夫零、阿列夫零迁跃到不可达基数一样的“图灵跳跃”才能抵达。

任何利用大基数、大大基数、大大大基数、……、真类无限、大全集、超类、集宇宙、集多元、数学宇宙、终极数学宇宙、终极数学多重宇宙、可构造宇宙、终极可构造宇宙、V=L、V=终极L、…………等等等等能够定义的图灵跳跃都逾越不了下一个超越度（图灵跳跃的超越度是0），超越度之间的跨越利用的是超跳跃，超越度同样如同图灵度、算术阶层一般无限向上绵延。

（定义计算器或计数器：

φ（0）=图灵度，φ（1）=超越度，…………

φ（0）=图灵跳跃，φ（1）=超跳跃，…………）

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