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第506章ZermeloFraenkel集理论公理（第2页）

同样，根据选择公理，没有无限的降序?∈x2∈x1∈x0?∈x2∈x1∈x0。

分离模式

对于任何一套aa和任何谓词P（x）P（x）用ZFC的语言写，集合{x∈a:P（x）}{x∈a:P（x）}存在。更详细地说，给定任何公式φ有自由变量x1，x2，…，xnx1，x2，…，xn以下是一个公理：

?a?x1?x2…?xn?y?z（z∈y（z∈a∧φ（x1，x2，…，xn，z））?a?x1?x2…?xn?y?z（z∈y（z∈a∧φ（x1，x2，…，xn，z））

这样一个y，以扩展性独一无二，并被写入（适用于固定集）a，x1…，xna，x1…，xn）y={z∈a:φ（x1，x2，…，xn，z）}y={z∈a:φ（x1，x2，…，xn，z）}。

到目前为止，我们无法证明无限集的存在。即?Vω，∈?是前五个公理和无限多分离实例的模型。每个成员Vω事实上是有限的Vω是世袭有限集的集合。这基本上是标准模型?。

无限

有无限的集合。这正式表示为

?x（?∈x∧?z（z∈x→z∪{z}∈x）.?x（?∈x∧?z（z∈x→z∪{z}∈x）.

此时我们可以定义ω，+，ω，+，和??在ωω，得出基本事实ω以及数学归纳原理ω（即，我们可以证明皮亚诺公理在?ω，+，???ω，+，??）。但我们还不能证明一个数不清的集合的存在。

电源设置

对于任何一套x还有一套y作为成员，所有子集x没有其他元素。y是电源集x。这正式表示为

?x?y?z（z∈y?w（w∈z→w∈x））?x?y?z（z∈y?w（w∈z→w∈x））

[独特的yy写成y=（x）y=P（x）.]

定义有序对（a，b）（a，b）是{{a}，{a，b}}{{a}，{a，b}}。关系作为有序对的集合，函数作为关系ff以至于（a，b）∈f（a，b）∈f和（a，c）∈f（a，c）∈f暗示b=cb=c。

选择

这个公理有很多公式。这是历史上最具争议的公理ZFCZFC。

?x[?y（y∈x→y≠?）→?f（domf=x∧?a∈x（f（a）∈a））]?x[?y（y∈x→y≠?）→?f（dom?f=x∧?a∈x（f（a）∈a））]

Zermelo（1908年）明确阐述了上述公理产生的理论。大多数经典数学都可以在这个理论中进行，但令人惊讶的是，没有比（ω?2）（ω?2）可以证明存在于这一理论中（至少对Zermelo来说是这样，他只是忽视了Frankel和其他人发现的下一个公理）。

替换模式

如果aa是一套，对所有人来说x∈ax∈a有一个独特的y以至于（x，y）（x，y）满足给定的财产，然后收集此类财产y这是一套。更详细地说，给定一个公式φ（x1，…，xn，x，y）φ（x1，…，xn，x，y）以下是替换模式的实例：

?a?x1…?xn[（?x∈a?!yφ（x1，…，xn，x，y））→?z?w（w∈z?u∈aφ（x1，…，xn，u，w））].?a?x1…?xn[（?x∈a?!yφ（x1，…，xn，x，y））→?z?w（w∈z?u∈aφ（x1，…，xn，u，w））].

更换申请

替换公理证明，每个有序集都与（唯一）序数同构。

证明。只需为每个世界展示这一点。?L，

?x?α（x∈Vα）?x?α（x∈Vα）。

对于所有序数α，?α存在（即为每个α至少有α+1α+1-许多无限红衣主教）。

此外，置换公理也证明了分离公理，反过来又证明了空集公理。此外，与功率集公理一起证明了配对公理。

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