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第362章 2 以神之名（第1页）

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“……完全解析阿列夫0后，我们深入了阿列夫数的世界，我们似乎从未碰到任何困难，或者说我们能够解决一切困难，超出我们能力范围的事情“神”会在梦里给予我们启示，一直以为这种一往无前是永恒的（事实上也的确如此），直到我们第一次“亲手触摸”到了那名为“阿列夫不动点”的超穷实体……

“神”于梦中之启示——

——历史上，康托尔那里并没有代表数的集合，所谓的等势这个词，一般理解为集合的大小，但这个大小并没有量化，两个集合的元素之间存在一一对应就说两个集合等势，但最多只能说数量一样而非数量多少，阿列夫数在康托那里就是个含糊不清的概念。康托之后，有个叫弗雷格的人用集合定义数，但它那里1就是所有外延为一个个体的概念的类，2就是外延为两个个体的概念的类，可以粗略理解为1就是所有可以表示为一个XX的概念事物的类。罗素悖论针对的就是它的这种定义，数都全是一堆真类了，而在现代，人们继承了两个集合一一对应表示数量一样的理念，特别是在用集合代表数之后，我们说一个集合有n个元素，就等于在说X可以和n一一对应，说一个集合是无穷集，那么它至少是可以和自然数集一一对应，

但是，如果说集合的数量就是与某个数一一对应，

｛0，1，2，……｝=ω

是可以和

｛0，1，2，……，ω｝=ω+1

一一对应的。

只需要定义：

f（n）=n+1，f（ω）=0

在集宇宙中，函数也是一个集合，上面定义的这个f就是一个无穷集，

｛｛ω，0｝，｛0，1｝，｛1，2｝，｛2，3｝，……｝

f（n）=n+1

其实就是｛n，n+1｝的有序对，也直观表现了n和n+1的连线。

这里可以看到，ω中的每个元素都可以和ω+1中的元素配对。

看懂没？

被启示者：……呃，大概懂了……

——好，你下来写个ω和ω+2的一一对应。

被启示者：……{｛0，ω+1｝，｛1，ω｝，｛2，0｝……}。

——对，一个能和ω一一对应的序数也被叫做可数无穷序数，对应的集合则是可数无穷集合。于是，一个集合X即可以和ω一一对应，又可以和ω×ω一一对应，究竟哪个数才是X的数量？

直观上，基数应该具有这种特征：

比它大的数无法和它一一对应。

或者，

比它小的数无法和它一一对应。

在有限序数自然数的情况下，两个定义是等价的，但超限序数的情况下，每个a+1都能对应，所以是不可能的，于是只能选择第二个特征，比它小的序数无法和它一一对应，这样的序数就是基数，比如ω，这也是第一个无穷基数，考虑到所有基数小于等于ω的序数的集合。

再回忆下序数的定义，仅包含所有小于自身的序数的集合，

为了方便之后的讨论，这个点可以被简约为：

如果a属于A，那么a是A的子集——也就是说，a的元素，小于a的序数都是A的元素，也小于A。

考虑到所有基数小于等于ω的序数的集合X，根据序数的定义，该集合仅包含序数，且满足a∈X蕴含a?X，这个集合就也是一个序数。

因为这个序数大于所有可数序数，且仅大于所有可数序数，所以它是下一个无穷基数，

因为比它小的都是可数序数，不可能和它一一对应。

为什么？根据前面的定义，可数序数就是可以和ω一一对应的序数，而这个集合的定义就是大于所有可数序数，与ω一一对应的序数就小于它，而序数不能自己小于自己。

自我包含的集合有，但这样的关系无法模拟数，

这一点概括下就是

“基数小于等于k的所有序数构成的集合”，简记为H（k），H（k）也就直接指称k之后的下一个无穷基数，可以成为基数的后继运算，像是+1，

比如H（阿列夫n）=阿列夫n+1。

但从ω开始用H（k）是无法得到第ω个无穷基数——阿列夫ω的，这是为什么？、

被启示者：因为阿列夫ω是个强极限基数，H（k）就类似于有限数运算，无法得到ω，自然也得不到阿列夫ω。

——这里没提幂集，不要类比，给我定义推理。

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